ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.
El par de valores x = 6, y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 · 6 - 5 · 1 = 7.
Definición: Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitas soluciones.
Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas
Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema.
x+y=5
2x-y=7
EJEMPLO:
y=5-x
y=2x-7
SISTEMAS DE ECUACIONES
Definición: Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las ponemos de esta forma:
ax+by=c
a´x+b´y=c´
Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común de ambas.
SISTEMAS EQUIVALENTES
Definición: Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución.
NÚMERO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL
Sistemas sin solución
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:
2x+3y=15
2x+3y=9
En este caso, nos dice por una parte que 2x+3y=15 y por otra que 2x+3y=9 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendrían que adoptar las incógnitas valores distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones.
Así sacamos la conclusión de que el sistema no tiene soluciones comunes y entonces se dice que el sistema es incompatible.
Sistemas con infinitas soluciones
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen lo mismo o que una ecuación es proporcional a la otra, es decir, tenemos dos veces la misma ecuación.
Veamos un ejemplo:
1) 2x+3y=15
2x+3y=15
2) 2x+3y=15
4x+6y=30
En el ejemplo (2) tenemos que la segunda ecuación es la misma, pero multiplicada por 2, entonces si dividimos toda la ecuación por 2, obtendremos de nuevo que tengamos dos ecuaciones idénticas.
En este caso el sistema se llamará compatible determinado, porque tiene soluciones, pero éstas son infinitas.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Método de sustitución
Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.
Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5º. Se ha obtenido, así, la solución.
Método de igualación
Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.
Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:
1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2º. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita.
3º. Se resuelve esta ecuación.
4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejara la otra incógnita.
5º. Se ha obtenido así la solución.
Método de reducción
Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Restando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene una ecuación con sólo una incógnita (se ha reducido el número de incógnitas).
Resumamos los pasos que debemos dar:
1º. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga).
2º. Al restarlas desaparece una de las incógnitas.
3º. Se resuelve la ecuación resultante.
4º. El valor obtenido se sustituye en una de las iníciales y se resuelve.
5º. Se obtiene, así, la solución.
Reglas prácticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto externo complicado, se empieza por “arreglarlas” hasta llegar a la expresión ax+by=c.
Recordemos las ventajas de cada uno de los tres métodos aprendidos:
* El método de sustitución es especialmente útil cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 ó -1 en alguna de las ecuaciones.
* El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro.
* Si queremos evitar las operaciones con fracciones, podemos conseguirlo aplicando dos veces el método de reducción para despejar, así, una y otra incógnita. Este consejo es especialmente útil cuando los coeficientes de las incógnitas son números grandes.
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