EL ÁREA ENTRE DOS CURVAS

En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.

El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g, encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a, b]. Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.

f(x)= 3x3 - x2 - 10x	g(x)= - x2 + 2x

Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.

Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)). El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b]. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).

En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia).

Definición de área entre dos gráficas: El área entre las gráficas de y=f(x), y=g(x) en el intervalo [a, b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a, b].

Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.

Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1 se intersectan en x = -1, 1. f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 4 + 4 + 4 = 12

Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas: y = -x2/3+1 y y = x2/3 se intersectan en x = 1. f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 1.6 + 0.15867 = 1.75867

 Otros métodos: Rectángulos horizontales.

El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple.

Observa las siguientes gráficas.  

Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1, mientras que en [2,3] la curva de arriba es y= (3-x)^1/2.

En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X₂ - X₁ y de altura y.

X₂ es el valor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y²) y X₁ es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.

		y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a			[3 - y2 - (y+1)] dy
		y=-2

Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y²) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:

	9
Área entre las curvas =
	2